Eşitsizlik-5

[mehmetutku]

$a,b,c$  pozitif reel sayılar ve $abc=1$ ise   $1+\dfrac{3}{a+b+c} \ge \dfrac{6}{ab+bc+ac}$  olduğunu ispatlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

A..G.O dan  $1+\dfrac{9}{(ab+ac+bc)^2} \ge \dfrac{6}{ab+ac+bc}$  bulunur.  O zaman aşağıdaki eşitsizlik doğruysa ispat biter:

$1+\dfrac{3}{a+b+c} \ge 1+\dfrac{9}{(ab+ac+bc)^2}$     

$\Longrightarrow (ab+ac+bc)^2 \ge 3(a+b+c)$    olduğunu ispatlamalıyız. Parantezleri açalım:

$\Longrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \ge 3(a+b+c)$                Burada $abc=1$  yazalım.

$\Longrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge a+b+c$  olduğunu ispatlamalıyız.         Burada $ab=\dfrac{1}{c}$ ve $a=\dfrac{1}{bc}$ yazalım. Diğerlerini de böyle yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge \dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}$     olduğunu ispatlamalıyız. Buradan görmek belki biraz zor olabilir. O yüzden   $x=\dfrac{1}{a}  ,    y=\dfrac{1}{b}   ,     z=\dfrac{1}{c}$     dönüşümlerini yapalım.

$\Longrightarrow x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$  olduğunu ispatlamalıyız.   Bu da zaten doğrudur. İspat biter.      (son ifadenin doğruluğunu her iki tarafı iki ile çarpıp sol tarafa atarak görebiliriz.)

[ERhan ERdoğan]

(Mehmet Utku Özbek)

$\Longrightarrow (ab+ac+bc)^2 \ge 3(a+b+c)$    olduğunu ispatlamalıyız.

 $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ eşitsizliğini $x=ab , y=bc , z=ca$ ve $abc=1$ koşulu altında kullanarak da doğruluğunu görebiliriz.