Eşitsizlik-2

[mehmetutku]

$a,b,c$    pozitif reel sayılar ,   $a+b+c=3$    ise    $\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2} \ge \dfrac{3}{2}$ olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Her iki taraftan da $a+b+c=3$ çıkaralım.
$\Longrightarrow a-\dfrac{a^2}{a+b^2}+b-\dfrac{b^2}{b+c^2}+c-\dfrac{c^2}{c+a^2} \le 3-\dfrac{3}{2}$     olduğunu kanıtlamalıyız. Payda eşitleyelim.

$\Longrightarrow \dfrac{ab^2}{a+b^2}+\dfrac{bc^2}{b+c^2}+\dfrac{ca^2}{c+a^2} \le \dfrac{3}{2}$    olur.  A.G.O dan $a+b^2 \ge 2b\sqrt{a}$ dır. O zaman;

$\Longrightarrow \dfrac{ab^2}{a+b^2}+\dfrac{bc^2}{b+c^2}+\dfrac{ca^2}{c+a^2} \le \dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}+\dfrac{bc^2}{2c\sqrt{b}}+\dfrac{ca^2}{2a\sqrt{c}} = \dfrac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{2} \le \dfrac{3}{2}$ ,     Yani      $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c} \le 3$ olduğunu kanıtlamalıyız.

Cauchy-Schwarz dan $(a+b+c)(ac+ab+bc) \ge (a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b})^2$ dır.

Aynı zamanda $(a+b+c)^2 \ge 3(ac+bc+ab)$ olduğunu da biliyoruz. Burada $a+b+c=3$    yazarsak     $3\ge ac+bc+ab$      olur. Bu da     $a+b+c\ge ac+bc+ab$     demektir.

Cauchy-Schwarz da elde ettiğimiz eşitsizlikte $a+b+c\ge ac+bc+ab$ yi kullanırsak şu sonuca ulaşırız:

$\Longrightarrow (a+b+c)^2 \ge (a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b})^2$

Bu da zaten şuna eşittir:

$\Longrightarrow 3 \ge a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}$

Ve ispat biter.