Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 21

[Egemen]

$AB//CD$ olmak üzere, $ABCD$ yamuğunun tüm kenarlarına teğet olan bir çember $[AB]$'ye $E$, $[CD]$'ye de $F$ noktasında değiyor. $|AE|=5$, $|CF|=3$ ve $|FD|=2$ ise $|BE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{15}{2} \qquad\textbf{b)}\ 4\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10}{3}\qquad\textbf{d)}\ 3\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt: $\boxed{C}$

$|BE|=x$ olsun. $ABCD$ aynı zamanda teğetler dörtgeni olduğu için $|AD|=7$ ve $|BC|=x+3$ olur.Şimdi $D$ ve $C$ den $|AB|$ ye dik çizelim. Bu noktalar sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $O$ çemberin merkezi olmak üzere $F,O,E$ doğrusaldır. (Paralellikten dolayı).      Ve ayrıca $|FE|$ iki paralel doğruya da diktir. Şimdi $|KE|=2$ olduğundan $|AK|=3$ tür. Pisagor yapılırsa $|DK|=2\sqrt{10}$ bulunur. Aynı zamanda $|CL|=2\sqrt{10}$ dur. $|EL|=3$ tür. O zaman $|LB|=x-3$ tür. Yine pisagor yapılırsa $(2\sqrt{10})^2+(x-3)^2=(x+3)^2$ ten $x=\dfrac{10}{3}$ bulunur.