Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 25

[Egemen]

Kaç $n$ tam sayısı için, $|n^3-6n^2+5|$ sayısı asaldır?

$\textbf{a)}\ 4\qquad\textbf{b)}\ 3\qquad\textbf{c)}\ 2\qquad\textbf{d)}\ 1\qquad\textbf{e)}\ 0$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed A$

İfadeyi $|(n-1)(n^2-5n-5)|=p$ olarak yazalım.
$n-1=1,-1,p,-p$ olarak inceleyelim.
$n-1=1 \Rightarrow n=2,$ $ n^2-5n-5$, $p$ veya $-p$’dir.
$ n^2-5n-5=-11=-p$

$n-1=-1 \Rightarrow n=0,$ $ n^2-5n-5$, $p$ veya $-p$’dir.
$ n^2-5n-5=-5=-p$

$n-1=-p \Rightarrow n=-p+1,$ $ n^2-5n-5$, $1$ veya $-1$’dir.
$ n^2-5n-5=1 \Rightarrow n^2-5n-6=(n-6)(n+1)$ $n=-1$ ise $ n-1=-p=-2$, $p=2$
$ n^2-5n-5=-1 \Rightarrow $ denklemi sağlayan $n$ tamsayısı yoktur.

$n-1=p \Rightarrow n=p+1,$ $ n^2-5n-5$, $1$ veya $-1$’dir.
$ n^2-5n-5=1 \Rightarrow n^2-5n-6=(n-6)(n+1)$ $n=6$ ise $ n-1=p=5$
$ n^2-5n-5=-1 \Rightarrow $ denklemi sağlayan $n$ tamsayısı yoktur.
$n=\{2,6,0,-1\}$ için asal sayı elde edilir.