Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 14

[Egemen]

$A$ gerçel sabitinin kaç farklı değeri için, $x^3 + y^3 = 5xy$ ve $x + y = A$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 5\qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 1 $

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

İlk denklemde $x^3+y^3$ olduğu için ikinci denklemin küpünü almak çok mantıklı: $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=A^3$ $\Rightarrow 5xy+3xy(A)=xy(3A+5)=A^3$.
Şimdi $xy$'yi $A$ cinsinden yazalım. $x+y=A$ olduğu için A.G.O uygulamak oldukça makul duruyor: $\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy} \Rightarrow \dfrac{A}{2}\ge\sqrt{xy} \Rightarrow \dfrac{A^2}{4}\ge{xy}$.
Buna göre $(A^2)(3A+5)\ge{4A^3} \Rightarrow 0\ge(A^2)(A-5)$ olur. Yalnız bir çözüm olması için eşitlik durumu olmalıdır. O zaman $A=0$ veya $A=5$, yani $2$ tane $A$ değeri için denklem sisteminin tam olarak bir çözümü vardır.