Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 15

[Egemen]

$|AB| = 2$ ve $|AD| = 2\sqrt2$ olan bir ABCD dikdörtgeninde $[AD]$'nin orta noktası $E$, $[AE]$'nin orta noktası da $F$'dir. $AC$ ve $BE$ doğruları $G$ noktasında kesişiyorsa, $FG$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt2}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

$E, [AD]$'nin orta noktası olduğundan $|AE|=\sqrt2$ ve $F, [AE]$'nin orta noktası olduğundan $|AF|=|FE|=\dfrac{1}{\sqrt2}$'dir.
$|AE|=\sqrt2, |BC|=2\sqrt2$ ve $AE//BC$ olduğundan Papyon Kuralı gereği $\dfrac{|AG|}{|GC|}=\dfrac{|EG|}{|GB|}=\dfrac{1}{2}$'dir.
Pisagor Teoremi uygulanırsa, $|EB|=\sqrt6$ ve $|AC|=2\sqrt3$ bulunur. Belirtilen orantı gereği $|AG|=\dfrac{2\sqrt3}{3}, |GC|=\dfrac{4\sqrt3}{3}, |EG|=\dfrac{\sqrt6}{3}, |GB|=\dfrac{2\sqrt6}{3}$'tür.
$AGE$ üçgenine bakılırsa, $|AG|^2+|GE|^2=\dfrac{12}{9}+\dfrac{6}{9}=\dfrac{18}{9}=2$ ve $|AE|^2=2$ olduğundan Pisagor Bağıntısı'nı sağlar. Dolayısıyla $\angle AGE=90^{\circ}$'dir.
$GF, [AE]$ hipotenüsünün kenarortayı olduğundan muhteşem üçlü oluşturur. Dolayısıyla $|FG|=|AF|=|FE|=\dfrac{1}{\sqrt2}$'dir.

[ygzgndgn]

(Yağız Gündoğan)

Analitik geometriyle de şu şekilde çözülebilir:

AB doğrusu dik koordinat düzleminin y ekseni, BC doğrusu ise koordinat düzleminin x ekseni olarak görülürse BE ve AC doğrularının denklemleri yazılabilir. E'den [BC]'ye indirilen dikmenin ayağı H olmak üzere m(BEH)=a ise tan(a)=2/kök(2)=kök(2) olarak bulunur. BE doğrusu B yani orijinden geçtiğinden dolayı denklemi sabit terim içermez. Böylelikle BE'nin denklemi (kök(2))x olarak bulunur. m(ACB)=b denirse tan(180-b)=-tan(b)=-1/kök(2)=-kök(2)/2 olarak bulunur. AC doğrusu y eksenini 2 noktasında kesmektedir. Böylelikle AC'nin denklemi 2-(kök(2)/2)x olarak bulunur. Bu doğruların kesişim noktası G'nin apsisi denklemler eşitlenirse bulunabilir. (kök(2))x=2-(kök(2)/2)x denklemini sağlayan x, 2kök(2)/3 olarak bulunabilir. Ordinat ise bu sayı denklemlerden herhangi birine girilerek bulunabilir. BE'nin denklemine x değeri olarak 2kök(2)/3 girilirse ordinat 4/3 olarak bulunur. G'den [AD]'ye indirilen dikmenin ayağı N olmak üzere |FN|=|2kök(2)/3 - kök(2)/2|=kök(2)/6 olarak bulunur. |GN| ise 2-4/3=2/3 olarak bulunur. GNF üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa |FG|=1/kök(2) olarak bulunur.

[geo]

$\triangle ABE \sim \triangle BCA$  $(KAK)$
$\angle ABG = \angle ACB \Longrightarrow \angle AGB =90^\circ$.
$AF=FE=FG= \dfrac {AE} 2= \dfrac 1 {\sqrt 2}$.