Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 27

[Egemen]

$C$, $[AB]$ çaplı çemberin dış bölgesinde yer alan bir nokta olmak üzere, $AC$ ve $BC$ doğrular çemberi ikinci kez sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $AE$ ve $BD$ doğrularının kesişim noktası $F$, $AB$ ve $CF$ doğrularının kesişim noktası da $G$ olmak üzere, $|AF| = 12$ ve $s(\widehat{EDC})=60^\circ$ ise, $|AG|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 7\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 8\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

Çapı gören çevre açı olduklarından $\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$'dir. Ve $ABC$ üçgenine bakılırsa, $AE$ ve $BD$ yükseklikleri $F$ noktasında kesişmiştir. O halde $F$'den geçen $CG$ de yüksekliktir, yani $\angle CGA=90^\circ$'dir.
$AEB$ üçgeninde $\angle AEB=90^\circ, \angle ABE=60^\circ$ olduğundan $\angle EAB=30^\circ$'dir.
$AGF$ üçgeninde $\angle AGF=90^\circ, \angle FAG=30^\circ$ olduğundan $\angle AFG=60^\circ$'dir. $90^\circ$'nin karşısı olan $|AF|=12$ ise $60^\circ$'nin karşısı olan $|AG|=6\sqrt3$'tür.