Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 30

[Egemen]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$, $[BE]$ ve $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $|AH|\cdot |AD|+|BH|\cdot |BE|+|CH|\cdot |CF| = 71$ ve $|AB|^2 + |AC|^2 = 106$ ise, $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[mustafaemir]

Yanıt: $\boxed{D}$

$(AD^2+BE^2+CF^2)-(AD\cdot HD+BE\cdot HE+CF\cdot HF)=AD\cdot AH+BE\cdot BH+CF\cdot CH=71 \quad (*)$  dir.
$H$ nin $D$ ye göre simetriği $H'$ ise $ABH'C$ kirişler dörtgeni olur ve $AD\cdot DH'=cd=AD\cdot HD$ benzer şekilde $AD\cdot HD+\cdots = ab+cd+ef$ bulunur.
$AD^2+BE^2+CF^2=(a+b)^2-c^2+(c+d)^2-e^2+(e+f)^2-a^2=(a+b)^2+(c+d)^2+(e+f)^2-(a^2+c^2+e^2)$
Carnot teoreminden $a^2+c^2+e^2=b^2+d^2+f^2$ olduğundan $AD^2+BE^2+CF^2=(a+b)^2+(c+d)^2+(e+f)^2-\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}{2}\right)$
Öyleyse $(*) \Longrightarrow (a+b)^2+(c+d)^2+(e+f)^2-\left( \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}{2}+ab+cd+ef\right)=71$
$(a+b)^2+(c+d)^2+(e+f)^2=2\cdot \left( \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}{2}+ab+cd+ef\right)$ olduğu görülebilir öyleyse $(a+b)^2+(c+d)^2+(e+f)^2=2\cdot 71= 142 \Longrightarrow AB^2+BC^2+AC^2=142$.
$AB^2+AC^2=106$ olduğundan $BC^2=36 \Longrightarrow BC=6$.

[ERhan ERdoğan]

$AEHF , BFHD , CDHE$  kirişler dörtgenidir. $A,B,C$ noktalarının bu çemberlere göre kuvvetlerini yazalım.

$$AH \cdot AD = AF \cdot AB = AE \cdot AC  \tag{1}$$ $$BH \cdot BE = BF \cdot AB = BD \cdot BC \tag{2}$$ $$CH \cdot CF = CE \cdot AC = CD \cdot BC \tag{3}$$
Bu sistemin ikinci ve üçüncü sütunlarındaki ifadeleri toplayalım.

$AB (AF+BF) + BC(BD+CD) + AC(AE+CE) = 2(AH \cdot AD + BH \cdot BE + CH \cdot CF)$

buradan,

$AB^2+BC^2+AC^2=142 \Rightarrow BC^2=142-106=36 \Rightarrow BC=6$