Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1982 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki özelliklere sahip sonsuz pozitif gerçel sayılar dizisi ${x_n}$ i ele alalım:
$x_0=1, \text{ ve her } i\geq 0 \text{ için, } x_{i+1}\leq x_i$

• Bu tipteki her dizi için, $$\dfrac{x_0^2}{x_1} + \dfrac{x_1^2}{x_2}+\dots + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n} \geq 3,999$$ olacak şekilde bir $n\geq 1$ sayının bulunduğunu kanıtlayınız.
• $$\dfrac{x_0^2}{x_1} + \dfrac{x_1^2}{x_2}+\dots + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4$$ eşitsizliğini sağlayan, yukarıda anlatılan şekilde bir dizi bulunuz.