Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1984 Soru 4

[geo]

$ABCD$, $CD$ doğrusu $AB$ çaplı çembere teğet olan bir dörtgen olsun. $AB$ doğrusunun $CD$ çaplı çembere teğet olması için gerek ve yeter koşulun $BC$ ile $AD$ doğrularının paralel olması olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$AB$ nin orta noktası $O$, $CD$ nin orta noktası $Q$, $DC$ ile $AB$ nin kesişimi $E$ olsun. $O$ merkezli çember $CD$ ye $R$ de değsin. $Q$ dan $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $S$ olsun.

$\triangle EQS \sim \triangle EOR \Rightarrow \dfrac{QS}{OR} = \dfrac{EQ}{EO}$.

İddia 1: $AD \parallel BC \Rightarrow QS=DQ$

İspat:
$ABCD$ yamuğunda $OQ$ orta taban olduğundan, paralellikten, $\dfrac{EQ}{EO} = \dfrac{QD}{OA} = \dfrac{QS}{OR} \Rightarrow DQ=QS$. Yani $DC$ çaplı çember, $AB$ ye $S$ de teğettir. $\blacksquare$

İddia 2: $QS=DQ \Rightarrow AD \parallel BC$

İspat:
$\dfrac{EQ}{EO} = \dfrac{QS}{OR} = \dfrac{DQ}{AO} = \dfrac{QC}{OB} \Rightarrow OQ \parallel AD \parallel BC$. $\blacksquare$