Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1995 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$; $abc=1$ koşulunu sağlayan pozitif gerçel sayılar olsun. $$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \geq \dfrac{3}{2}$$ olduğunu kanıtlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Paydadaki ifadelerden kurtulmak için dönüşüm yapalım $a=\dfrac{1}{x} ,  b=\dfrac{1}{y} , c=\dfrac{1}{z}$ olsun. İfade şuna dönüşür
$$\Longrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{y^3}(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x})}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{z^3}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})}=\dfrac{x^3yz}{y+z}+\dfrac{y^3xz}{x+z}+\dfrac{z^3xy}{x+y}$$
$abc=1$ ise $xyz=1$ dir. O zaman son ifadede $xyz$ yerine $1$ yazalım. Artık ispatlamamız gereken ifade şudur:
$$\Longrightarrow \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y} \ge \dfrac{3}{2}$$
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygulayalım:
$$\Longrightarrow[(y+z)+(x+z)+(x+y)][\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}] \ge [x+y+z]^2$$
$$\Longrightarrow[\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}] \ge \dfrac{[x+y+z]^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}$$

Şimdi $x+y+z \ge 3$ olduğunu gösterirsek ispat biter. Bunu da A.G.O dan rahat bir şekilde görebiliriz.
$\Longrightarrow x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$ dir. $xyz=1$ olduğu için $x+y+z \ge 3$ tür. Ve ispat biter.

[Lokman Gökçe]

$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}$

$=\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}$ (Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uyguluyoruz)

$ \geq \dfrac{(bc+ca+ab)^2}{2(ab+bc+ca)}$

$=\dfrac{(bc+ca+ab)}{2}$ (Aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğini uyguluyoruz)

$ \geq 3\dfrac{(abc)^{\frac32}}{2}$

$= \dfrac32$ elde edilir. Eşitlik durumu yalnızca $a=b=c=1$ iken sağlanır.

[AtakanCİCEK]

Bu soruya Jensen Eşitsizliği kullanarak da cevap verebiliriz.

Önceden yapılan dönüşümleri tekrardan ($x=\frac{1}{a}$,$y=\frac{1}{b}$,$z=\frac{1}{c}$) şeklinde dönüşümler yapıldığında
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ haline gelir.

şimdi  $f(x)=\frac{1}{x}$ olsun. $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}$ ve buradan $f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^3}$ ve $x>0$ olduğundan dolayı
$f^{\prime \prime}(x)>0$ elde edilir. Buna göre Jensen eşitsizliği kullanılabilir.
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$=$x.f(\frac{y+z}{x})+y.f(\frac{x+z}{y})+z.f(\frac{x+y}{z}) \geq (x+y+z).(\frac{x+y+z}{(y+z)+(x+z)+(x+y)})=\frac{x+y+z}{2}$  Daha sonra aritmetik - geometrik ortalama eşitsizliğinden
$x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$ ve $xyz=1$ olduğundan  $x+y+z \geq 3$ yani
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{3}{2}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş IMO 1995 #2