Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1995 Soru 1

[geo]

$A,B,C,D$ bir doğru üstünde belirtilen sırada dört farklı nokta olsun. $AC$ ve $BD$ çaplı çemberler $X$ ve $Y$ de kesişiyor. $XY$ doğrusu $BC$ yi $Z$ de kesiyor. $P$, $XY$ doğrusu üzerinde $Z$ den farklı bir nokta olsun. $CP$ doğrusu $AC$ çaplı çemberi $C$ ve $M$ de, $BP$ doğrusu $BD$ çaplı çemberi $B$ ve $N$ de kesiyor. $AM$, $DN$, $XY$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$P$ noktasının $BD$ çaplı çembere göre kuvvetinden $XP \cdot PY = BP \cdot PN$.
$P$ noktasının $AC$ çaplı çembere göre kuvvetinden $XP \cdot PY = CP \cdot PM$.
Bu durumda $B$, $C$, $N$, $M$ çemberseldir. Dolayısıyla $\angle NMC = \angle NBC$ ve $\angle MNB = \angle MCB$.
$AM$ ile $XY$, $Q$ da kesişsin. $\angle AQZ = \angle ACM = \angle MNP$ olduğu için $P$, $M$, $P$, $N$ çemberseldir. Bu durumda, $\angle NQP = \angle NMP = \angle NBD$ olduğu için $Q$, $N$, $D$ doğrusaldır. Yani $AM$, $XY$, $DN$ noktadaştır.