Yanıt: $\boxed{C}$
Not: Yalnızca okuyarak takip edilmesi zor bir çözüm olduğundan kağıt ve kalem ile takip edilmesi önerilir.
Turnuvada toplam $\binom{n}{2}$ maç yapılır ve bir maçtan en az $2$, en fazla $3$ puan çıkabilir. Yani turnuvadan çıkacak olan toplam puan sayısı en az $\binom{n}{2}\cdot2$, en fazla $\binom{n}{2}\cdot3$'tür.
$n=3 \Longrightarrow$ Turnuvadan en az $6$, en fazla $9$ puan çıkabilir. Bu da puan diziliminin yalnızca $(3,2,2)$ olabileceği anlamına gelir. Ancak, $2$ puan alan bir takım varsa diğer iki takımla da berabere kalmış demektir. Fakat $1.$ sıradaki oyuncunun $3$ puan alması tek bir galibiyeti olduğu, yani hiç beraberliği olmadığı anlamına gelir. Çelişki.
$n=4 \Longrightarrow$ Turnuvadan en az $12$, en fazla $18$ puan çıkabilir. Bu da puan diziliminin $(4,3,3,3)$ veya $(5,4,4,4)$ olabileceği anlamına gelir.
Puan dizilimi $(4,3,3,3)$ ise toplam $13$ puan çıkmıştır. $12$ puan çıkması için tüm maçlar berabere bitmeliydi. O halde $13$ puan çıkması için tek bir maçta kazanan takım vardır, diğer tüm maçlar berabere bitmiştir. Tüm maçlar berabere bittiyse $(3,3,3,3)$ puan dizilimi oluşur. Bu dizilimdeki bir maçın berabere bitmemesini sağlamak için bir takımdan $1$ puan eksiltmek, birine de $2$ puan eklemek gerekir. Yani dizilim $(5,3,3,2)$ olur. Dolayısıyla $(4,3,3,3)$ olması imkansızdır.
Puan dizilimi $(5,4,4,4)$ ise $5$ puanı olan takımın $1$ galibiyet ve $2$ beraberliği, puanı $4$ olan takımların $1$ galibiyet ve $1$ beraberliği olması zorunludur. Bu durumda takımların toplam $5$ beraberliği vardır fakat bir maç berabere bittiğinde iki takımın da beraberliği olduğundan bu sayı çift olmalıdır. Dolayısıyla $(5,4,4,4)$ olması da imkansızdır.
$n=5 \Longrightarrow$ Turnuvadan en az $20$, en fazla $30$ puan çıkabilir. Bu da puan diziliminin $(5,4,4,4,4)$, $(6,5,5,5,5)$ veya $(7,6,6,6,6)$ olabileceği anlamına gelir.
Puan dizilimi $(5,4,4,4,4)$ ise toplam $21$ puan çıkmıştır. $n=4$ durumunun $(4,3,3,3)$ puan diziliminde yapılan adımlar aynı şekilde yapılırsa $21$ puan çıkması için puan diziliminin $(6,4,4,4,3)$ olması gerektiği görülür. Yani $(5,4,4,4,4)$ olması imkansızdır.
Puan dizilimi $(7,6,6,6,6)$ ise toplam $29$ puan çıkmıştır. $30$ puan çıksaydı tüm maçların bir kazananı olması gerekecekti. $29$ puan çıktıysa tek bir maç berabere bitmiştir, diğer tüm maçların bir kazananı vardır. Puanı $7$ olan takımın $2$ galibiyeti ve $1$ beraberliğinin olması zorunludur. Yani puanı $6$ olan takımların biriyle berabere kalmıştır. O takımın $1$ galibiyeti, $3$ beraberliğinin olması zorunludur. Ve başka beraberlik olmadığı için puanı $6$ olan diğer üç takımın üçünün de $2$ galibiyeti ve $2$ mağlubiyeti olması zorunludur. Bu durumda toplam galibiyet sayısı $9$, toplam mağlubiyet sayısı $7$ oldu. Ancak eşit olmaları gerektiğinden $(7,6,6,6,6)$ olması da imkansızdır.
Puan dizilimi $(6,5,5,5,5)$ ise puanı $6$ olan takımın $2$ galibiyet ve $2$ mağlubiyeti, puanı $5$ olan takımların ise $1$ galibiyet, $2$ beraberlik ve $1$ mağlubiyeti olabilir. Bu durum tüm şartlara uyar. Dolayısıyla $n$ en az $5$ olabilir.
