Yanıt: $\boxed{B}$
Not: Yalnızca okuyarak takip edilmesi zor bir çözüm olduğundan kağıt ve kalem ile takip edilmesi önerilir.
İki kümemizden birindeki herhangi iki sayının aritmetik ortalamasının aynı kümede olmasını istemiyoruz.
$n=9$ için sağlanamayacağını ve $n=8$ için sağlayan bir durum olduğunu gösterelim. $n=9$ için sağlanamıyorsa $n\geq 9$ için de hiçbir zaman sağlanamayacağı aşikardır.
$2$'nin kuvveti olan $2$, $4$, $8$ sayılarının iki kümeye ayrılma varyasyonlarını inceleyelim.
$a$ ve $b$'nin aritmetik ortalamasını $s(a,b)$ ile gösterelim.
Durum 1: $2$, $4$, $8$ aynı anda ilk kümede olsun. $s(2,4)=3$, $s(2,8)=5$ ve $s(4,8)=6$ olduğundan $3$, $5$ ve $6$ ikinci kümede olmalıdır. $s(3,9)=6$ olduğundan $9$ ikinci kümede olamaz. İlk kümede olmalıdır. Bu noktada $7$ her iki kümede de bulunamaz çünkü ilk kümede olursa $7$, $8$, $9$; ikinci kümede olursa $5$, $6$, $7$ sayıları şartı bozar. Dolayısıyla bu durum mümkün değildir.
Durum 2: $2$ ve $8$ ilk kümede, $4$ ikinci kümede olsun. $s(2,8)=5$ olduğundan $5$ ikinci kümede olmalıdır. $s(4,6)=5$ ve $s(5,3)=4$ olduğundan $6$ ve $3$ ilk kümede olmalıdır. $s(8,6)=7$ olduğundan $7$ ikinci kümede olmalıdır. İlk kümede $2$, $8$, $6$, $3$; ikinci kümede $4$, $5$, $7$ sayıları olmuş oldu. Bu noktada $s(3,1)=2$ ve $s(7,1)=4$ olduğundan $1$ iki kümeye de dahil edilemez. Dolayısıyla bu durum da mümkün değildir.
Durum 3: $2$ ve $4$ ilk kümede, $8$ ikinci kümede olsun. $s(2,4)=3$ ve $s(2,6)=4$ olduğundan $3$ ve $6$ ikinci kümede olmalıdır. $s(8,6)=7$ olduğundan $7$ ilk kümede olmalıdır. $s(7,1)=4$ olduğundan $1$ ikinci kümede olmalıdır. $s(5,1)=3$ olduğundan $5$ ilk kümede olmalıdır. İlk kümede $2$, $4$, $7$, $5$; ikinci kümede $8$, $3$, $6$, $1$ olmuş oldu. Bu, $n=8$ için sağlayan bir durumdur. Ayrıca $s(5,9)=7$ ve $s(3,9)=6$ olduğundan bu noktada $9$ iki kümeye de dahil edilemez. Yani $n=9$ için bu durum da mümkün değildir.
Durum 4: $2$ ilk kümede, $4$ ve $8$ ikinci kümede olsun. $s(4,8)=6$ olduğundan $6$ ilk kümede olmalıdır. İlk kümede $2$, $6$; ikinci kümede $4$, $8$ olmuş oldu. Bu noktada ilerleyemediğimizden deneme yapmalıyız. Örneğin, $7$ sayısını ilk kümeye ve ikinci kümeye koyup şart sağlanabiliyor mu diye bakalım.
$7$ ilk kümede olsun, $s(7,5)=6$ olduğundan $5$ ikinci kümede olmalıdır. $s(5,3)=4$ olduğundan $3$ ilk kümede olmalıdır. $s(3,1)=2$ olduğundan $1$ ikinci kümede olmalıdır. İlk kümede $2$, $6$, $7$, $3$; ikinci kümede $4$, $8$, $5$, $1$ olmuş oldu. Bu da $n=8$ için sağlayan bir durumdur. Yine $9$ iki kümeye de dahil edilemez. Çünkü $s(9,3)=6$ ve $s(9,1)=5$'tir. Dolayısıyla $7$ ilk kümeye koyulduğunda $n=9$ sağlanamaz.
$7$ ikinci kümede olsun, $s(7,1)=4$ olduğundan $1$ ilk kümede olmalıdır. $s(1,3)=2$ olduğundan $3$ ikinci kümede olmalıdır. $s(3,7)=5$ olduğundan $5$ ilk kümede olmalıdır. İlk kümede $2$, $6$, $1$, $5$; ikinci kümede $4$, $8$, $7$, $3$ olmuş oldu. Bu da $n=8$ için sağlayan başka bir durumdur, ve yine $9$ iki kümeye de dahil edilemez. Çünkü $s(9,1)=5$ ve $s(9,7)=8$'dir. Dolayısıyla $7$ ikinci kümeye koyulduğunda da $n=9$ sağlanamaz.
Bu durumun da sağlanamayacağını bulduk. Başka durum da yoktur. Yani $n=9$ hiçbir şekilde sağlanamaz. $n=8$ için ise $3$ örnek bulduk. Dolayısıyla verilen şartı sağlayan en büyük $n$ sayısı $8$'dir. Benzer işlemler farklı sayıların varyasyonlarıyla da denenebilir.
Onat Vuran'a ayrıca teşekkürler...
