Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$x, y, z$ pozitif gerçel sayıları $xy + yz + zx = 5$ koşulunu sağlıyorsa, $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen ifadenin alabileceği $2$ tane değer bulursak, bu ifade iki değerin arasındaki tüm değerleri alacaktır çünkü ifadeler süreklidir ve polinomaldir. Öncelikle $x=y=z=\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ denersek $$x^2+y^2+z^2-xyz=5-\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{5}{3}}<3$$ olacaktır. Diğer değer için $x=y=\epsilon>0$ çok küçük bir sayı olsun. Bu durumda $z=\dfrac{5-\epsilon^2}{2\epsilon}$ olacaktır. $$x^2+y^2+z^2-xyz=\dfrac{9\epsilon^2}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4\epsilon^2}-\dfrac{\epsilon(5-\epsilon^2)}{2}$$ olacaktır. $\dfrac{25}{4\epsilon^2}$ ifadesinden dolayı $\epsilon$'u ne kadar küçük seçersek ifade o kadar büyür (sonsuza gider). Dolayısıyla ifade için üst sınır yoktur. $3$'den küçük bir değer de olabileceğini gösterdiğimizden, ifademiz $3$ veya daha büyük her sayı olabilir.