Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 07

[geo]

$\left \lfloor \dfrac m{11} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac m{10} \right \rfloor$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 44
\qquad\textbf{b)}\ 48
\qquad\textbf{c)}\ 52
\qquad\textbf{d)}\ 54
\qquad\textbf{e)}\ 56
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\left \lfloor \dfrac m{11} \right \rfloor = n = \left \lfloor \dfrac m{10} \right \rfloor$ olsun. $n \leq \dfrac{m}{11} < n+1$ ve $n \leq \dfrac{m}{10} < n+1$ eşitsizlikleri beraber sağlanmalıdır. Buradan $ 11n \leq m < 10n+10$ elde edilir. Bu eşitsizlikte $0 \leq n < 10$ olduğu açıktır.

$n=0$ için $m \in \{0,1,2, \dots ,9 \}$ olup $10$ değer vardır. (Fakat $m \neq 0$ olduğunu unutmayalım)

$n=1$ için $m \in \{11,12,13, \dots ,19 \}$ olup $9$ değer vardır.

$\vdots$

$n=9$ için $m \in \{ 99 \}$ olup $1$ değer vardır.

Toplam $10 + 9 + \cdots +1 = \dfrac{10\cdot 9}{2}=55$ dir. Son olarak $m=0$ durumu çıkarılırsa $55-1=54$ elde edilir.