All-Union Russian Olympiad 1980

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ eşkenar üçgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinden sırasıyla, $MP \parallel AC$ olacak şekilde $M$ ve $P$ noktaları alınıyor. $BMP$ üçgeninin iç merkezi $D$ ve $[AP]$ nin orta noktası $E$ ise, $CDE$ üçgeninin açılarının $30^\circ , 60^\circ , 90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$BP$ nin orta noktası $N$ olsun.

$\triangle ABC$ de $BD$ açıortay olduğu için $AD=DC$ ve $\angle BAD = \angle DCP$.

$\triangle BMP$ de $BD=MD=DP=2 \cdot DN$.

$BN=NP$ ve $AE=EP$ olduğu için $NE\parallel AB$, $AB=2\cdot NE$ ve $\angle BMN = \angle DNE = 30^\circ$.

$\angle ABD = \angle END = 30^\circ$, $AB/EN=2$ ve $BD/ND=2$ olduğu için $(KAK)$ dan $\triangle ABD \sim \triangle END$. Dolayısıyla $\angle BAD = \angle NED = \angle DCN$ olacaktır. Bu durumda, $EDNC$ bir kirişler dörtgenidir. $\angle DNE = \angle DCE = 30^\circ$ ve $\angle ENC = \angle EDC = 60^\circ$ olduğu için $\triangle CDE$ bir $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ üçgenidir.