Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 29

[geo]

Bir üçgenin, uzunlukları $5$ ve $2 \sqrt 6$ olan kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla $h_1$ ve $h_2$ olmak üzere, $5 + h_1\leq 2 \sqrt 6 + h_2$ ise, bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 6
\qquad\textbf{d)}\ 3 \sqrt 6
\qquad\textbf{e)}\ 5 \sqrt 3
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Üçgenin alanı $S=\dfrac{5h_1}{2}=\dfrac{2h_2\sqrt{6}}{2}$ olduğundan $h_1=\dfrac{2S}{5}$ ve $h_2=\dfrac{2S}{2\sqrt{6}}$ olacaktır. Eşitsizlikte yerine yazarsak $$5+\dfrac{2S}{5}\leq 2\sqrt{6}+\dfrac{2S}{2\sqrt{6}}\implies 2\sqrt{6}(25+2S)\leq 5(24+2S)\implies 50\sqrt{6}-120\leq S(10-4\sqrt{6})\implies S\geq 5\sqrt{6}$$ Bir kenara ait yükseklik diğer kenarlardan her zaman küçük veya eşit olacağından $h_1\leq 2\sqrt{6}$'dır ve $$h_1=\dfrac{2S}{5}\leq 2\sqrt{6}\implies S\leq 5\sqrt{6}$$ bulunur. Yani eşitlik durumu olmalıdır. Buradan $h_1=2\sqrt{6}$ bulunur. Başka bir deyişle üçgen dik üçgendir ve verilen iki kenar birbirine diktir. Pisagor teoreminden üçüncü kenar $\sqrt{5^2+(2\sqrt{6})^2}=7$ olarak bulunur.