Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 13

[geo]

$AD\parallel BC$ olmak üzere $ABCD$ ikizkenar yamuğunun köşegen uzunluğu $\sqrt 3$ ve taban açısı $60^\circ$ olsun. Bu yamukla aynı düzlemde bulunan bir $P$ noktası, $|PA| = 1$ ve $|PD| = 3$ koşullarını sağlıyorsa, $|PC|$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 6
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt 7
$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Soruda $AD$ nin mi $BC$ nin mi taban olduğu verilmemiş. İki durumu da çizerek aşağıdaki eşitsizlikleri uygulayalım.

$P, A, D$ noktaları için üçgen eşitsizliğinden $PD - PA \leq |AD| \leq PA + AD \Rightarrow 2 \leq AD \leq 4$.

$ABD$ üçgeninde Sinüs Teoreminden $\dfrac {AD}{ \sin \angle ABD} = \dfrac {BD}{\sin \angle BAD} = \dfrac {\sqrt 3}{\dfrac {\sqrt 3}{2}} = 2$, dolayısıyla $AD = 2 \cdot \sin \angle ABD \leq 2$ elde edilir.
İki eşitsizliği birleştirirsek $AD = 2$ çıkar.
Birinci eşitlik için eşitlik durumu $P,A,D$ doğrusal ve $A \in [PD]$ iken sağlanır.
İkinci eşitlik için eşitlik durumu $\angle ABD = 90^\circ$ iken sağlanır.
$\angle ABD = 90^\circ$ ise $\angle BAD = 120^\circ$ olmayacağı için $AD>BC$ dir, yani $AD$ tabandır.
$\triangle ABD$ de $AB=1$ elde edilir. Ayrıca ikizkenar yamukta $DC=AB=1$ dir.
$\triangle PDC$ de Kosinüs teoremi uygulayarak $PC^2 = PD^2 + DC^2 - 2 \cdot PD \cdot DC \cdot \cos \angle CDP = 3^2 + 1^2 - 2\cdot 3 \cdot 1 \cdot \dfrac 12 = 7$ ve $PC = \sqrt 7$ elde edilir.