Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 19

[geo]

$1$ ile başlayıp her adımda elimizdeki sayıya $1$ ekleyerek veya çarpmaya göre tersinin negatifini alarak, sonlu sayıda adımda aşağıdakilerden hangisini elde edemeyiz?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 53
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[taftazani44]

Ek

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$1$ ekleme işlemini $a$ ile, bu işlemin $k$ kez uygulandığını $a^k$ ile, çarpamaya göre tersinin negatifini almayı $b$ ile gösterelim.
$(1, a^n) = n+1$ olacağı için $(1, a^6)=7$.

$-2$ ve $\dfrac 12$ sayıları birbirlerinden $(-2, b)=\dfrac 12$ elde edilebileceği için cevap ikisi de olamaz. (Yine de örnek vermek gerekirse $(1, aba)=-\dfrac 12$ ve $(1, abab)=-2$)

Bu durumda sadece $\dfrac {5}{3}$ ün elde edilip edilemeyeceğini göstermemiz yeterli.
$(1, a^2ba^2)=\dfrac 53$

O halde yanıt, $\boxed{\text{Hiçbiri}}$dir.