Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 19

[geo]

Düzlemde $2003$ farklı noktayı birleştiren doğru parçalarının orta noktalarından oluşan kümenin en az kaç elemanı olabilir?

$
\textbf{a)}\ 2006
\qquad\textbf{b)}\ 4001
\qquad\textbf{c)}\ 4003
\qquad\textbf{d)}\ 4006
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Bu noktalar ikişer ikişer alındığında aralarındaki uzaklık en büyük olan iki nokta $A$ ve $B$ olsun. $A$'yı diğer $n-1$ nokta ile birleştiren $n-1$ tane doğru parçasının orta noktalan birbirinden farklıdır ve bunların herbiri $A$'dan en fazla $\frac{|AB|}{2}$ uzaklıktadır. Benzer şekilde $B$'yi diğer $n-1$ nokta ile birleştiren doğru parçalarının orta noktaları birbirinden farklıdır ve bunlar da $B$ noktasından en fazla $\frac{|AB|}{2}$ uzaklıkta olduğundan birincilerden de farklıdır, sadece $[AB]$ doğru parçasının orta noktası hem birincilerde hem de ikincilerde vardır. Bu durumda işaretlenmiş nokta sayısı en fazla $2(n-1)-1=2 n-3$'tür.
$n=2003$ olduğu için sorunun yanıtı $2n-3 = 4003$'tür.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 9.14, Sayfa 222.