Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 32

[geo]

$f$ fonksiyonu her gerçel $x$ için $f(x)+3f(1-x)=x^2$ eşitliğini sağlıyorsa, $S=\{x \mid f(x)=0 \}$ olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $S$ sonsuz bir kümedir.

$\textbf{b)}$ $\{0,1\} \subset S$

$\textbf{c)}$ $S=\phi$

$\textbf{d)}$ $S = \{(3+\sqrt 3)/2, (3-\sqrt 3)/2\}$

$\textbf{e)}$ Hiçbiri

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\begin{array}{rcl}
f(x) + 3f(1-x) &=& x^2 \\
f(1-x) + 3f(x) &=& (1-x)^2 \\
f(x) &=& \dfrac{3(1-x)^2 - x^2}{8} \\
&=& \dfrac{2x^2-6x+3}{8}
\end{array}$
$f(x)=0 \Rightarrow x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt 3}{2}$.