Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 31

[geo]

$n$ sayısı $n$ defa kullanılmak koşuluyla, sonsuz bir satranç tahtasının her birim karesine bir pozitif tam sayı yazılmıştır. Ortak kenarı olan herhangi iki karedeki sayıların farkının mutlak değeri $k$ den büyük değilse, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$1$ sayısı bu tahtada $1$ adet kullanılacaktır. Eğer $k=0$ ise $1$'in çevresindeki $4$ kare de $1$ olmalıdır ki bu da $1$ adet olmasıyla çelişir. Eğer $k=1$ ise $1$'in çevresine $4$ adet $2$ koymalıyız fakat sadece $2$ adet $2$ vardır. Dolayısıyla $k\geq 2$ olmalıdır. $k=2$ için örnek bulmaya çalışalım. Tekrar eden bir örüntü bulamasam da $1$ merkezli $5\times 5$'lik bir kareyi doldurdum. Kare genişletilebilir duruyor. $$7~~~~~6~~~~~\color{red}4~~~~~6~~~~~7$$ $$6~~~~~4~~~~~\color{red}2~~~~~4~~~~~6$$ $$\color{red}4~~~~~\color{red}2~~~~~\color{red}1~~~~~\color{red}3~~~~~\color{red}5$$ $$5~~~~~3~~~~~\color{red}3~~~~~5~~~~~6$$ $$7~~~~~5~~~~~\color{red}5~~~~~6~~~~~7$$

Burada $1$'den yukarı ve sola giden yol $1-2-4-6-\cdots$ gibi, aşağı ve sağa giden yol ise $1-3-5-7-\cdots$ gibi görünüyor. Yine de arada kalan kısımlar için bir örüntü göremedim.

Not: Verdiğim örnek kare devam ettirilemiyor olabilir ben sadece devamını kontrol etmeden $5\times 5$'in içini doldurdum ve kırmızı yollar dışında kalan $3$'ün farklı kullanım yerine göre farklı kareler çıkabilir.

[geo]

$1$ sayısının $4$ komşusu olduğundan ve tahta üzerinde sadece $2$ tane $2$ sayısı bulunduğundan $k=1$ olamayacağı açıktır. $k=2$ olabileceği aşağıdaki şekilden görünmektedir.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\ \ \ &\ \ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ \ &\ \ \ \\ \hline
&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline
&&&&&&\cdot&\cdot &&&&&&& \\ \hline
&&&&&\cdot&11&10&\cdot&&&&&& \\ \hline
&&&&\cdot&11&9&8&10&\cdot&&&&& \\ \hline
&&&\cdot&11&9&7&6&8&10&\cdot&&&& \\ \hline
&&\cdot &11&9&7&5&4&6&8&10&\cdot&&& \\ \hline
&\cdot &11&9&7&5&3&2&4&6&8&10&\cdot && \\ \hline
&\cdot&10&8&6&4&2&1&3&5&7&9&11&\cdot& \\ \hline
&&\cdot&10&8&6&4&3&5&7&9&11&\cdot&& \\ \hline
&&&\cdot&10&8&6&5&7&9&11&\cdot&&& \\ \hline
&&&&\cdot&10&8&7&9&11&\cdot&&&& \\ \hline
&&&&&\cdot&10&9&11&\cdot&&&&& \\ \hline
&&&&&&\cdot&11&\cdot&&&&&& \\ \hline
&&&&&&&\cdot &&&&&&& \\ \hline
&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline
&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline
\end{array}
$$

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Problem 10.67, Sayfa 246.

[geo]

Sonsuz satranç tahtasını, sol üstten başlayıp devam ettirdiğimizde başka bir sonuç elde ediliyor.

$k=0$ için tüm sayıların aynı olması lazım. Sorudaki koşul ile çelişiyor.
$k=1$ için aşağıdaki gibi bir satranç tahtası oluşturulabilir:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
\hline
1 & 2&3&4&\ldots \\ \hline
2 & 3&4& 5& \ldots \\ \hline
3 & 4&5& 6& \ldots \\ \hline
4 & 5&6& 7 & \ldots \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}$$
Bu durumda yanıt $\boxed{(a) \ 1}$ oluyor.
Resmi cevap anahtarına göre, yanıt $2$ olarak verilmiş.
Sonsuz bir satranç tahtasının sol üst köşesi olmaz diyebilirsek, resmi cevap anahtarı doğru olur. Aksine, sol üst köşesi olan bir sonsuz satranç tahtası oluşturulabilir ise o durumda yanıt $(a)$ oluyor.