Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 27

[geo]

$1\times 1$ boyutlarında bir karenin içine, çevre uzunlukları toplamı $C$ olan sonlu sayıda çember yerleştirilmiştir. $C=\dfrac {43}5$, $9$, $\dfrac{91}{10}$, $\dfrac{19}{2}$, $10$ değerlerinden kaçı için, bu çemberlerden dördünü kesen bir doğrunun varlığını kesin olarak söyleyebiliriz?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$1 \times 1$ boyutlarındaki karenin içinde bulunan, çaplarının toplamı $3$'ten büyük olan çemberlerin karenin bir kenarına izdüşümleri alındığında, izdüşümlerin uzunlukları toplamı $3$'ten büyük olduğundan, bu kenar üzerinde $3$'ten fazla sayıda izdüşümün kesiştiği bir nokta bulunacak. Bu noktadan bu kenara çizilen dikme en az $4$ çember kesecek. Diğer taraftan $A<3$ ise, her birinin çapı $\dfrac A3$ olan $3$ çember alıp bunları karenin içine yerleştirdiğimizde $4$ çember kesen bir doğru bulunmayacak çünkü sadece $3$ çember vardur. Sorudaki $C$ sayılarından $\dfrac C3 > 3$ koşulunu sağlayanlar $2$ tanedir: $\dfrac {19}2$ ve $10$.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 5.84, Sayfa 189.

[geo]

Refail Alizade Hoca'nın çözümü:

$[0,1]$ aralığında uzunlukları toplamları $3$'ten büyük olan $n$ aralık aldığımızda bu $n$ aralığın $4$ tanesinin içinde yer alan bir noktanın varlığını gösteriniz.

sorusunun çözümüne dayanıyor. Bu Dirichlet uygulamasının ispatını belki daha açık bir şekilde yazmakta fayda var.