Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 36

[geo]

$a_1,a_2, \cdots , a_{2003}$ tam sayıları, $|a_1| = 1$ ve $|a_{i+1}|=|a_i+1|$ $(1\leq i \leq 2002)$ koşullarını sağlıyorsa, $|a_1+a_2+\cdots + a_{2003}|$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 34
\qquad\textbf{c)}\ 56
\qquad\textbf{d)}\ 65
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\begin{array}{rcl}
a_2^2 - a_1^2 &=& 2a_1 + 1 \\
a_3^2 - a_2^2 &=& 2a_2 + 1 \\
& \vdots & \\
a_{2004}^2 - a_{2003}^2 &=& 2a_{2003} + 1 \\
\end{array}$

Taraf tarafa toplarsak $$a_{2004}^2 - a_1^2 = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{2003}) + 2003 \Rightarrow a_1 + a_2 + \cdots + a_{2003} = \dfrac { a_{2004}^2 - 2004} 2$$ elde ederiz. $|a_1+a_2+\cdots + a_{2003}|$ ifadesinin en küçük değeri için $a_{2004}^2$ mümkün olduğunca $2004$ e yaklaşmalı. Bunun için $|a_{2004}| =44$ olmalı. Bu durumda, $ \dfrac { a_{2004}^2 - 2004} 2 = -34$ olacaktır.

Geriye sadece $|a_{2004}| = 44$ olacak şekilde bir dizi yolu bulmak kalıyor:
$a_1 = -1$, $a_2 = 0$, $a_3 = -1$, $a_4 = 0$, $\dots$, $a_{1959} = -1$, $a_{1960} = 0$, $a_{1961} = 1$, $a_{1962} = 2$, $\dots$, $a_{2003} = 43$ sayılarının toplamı gerçekten de $-34$ tür.