Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 03

[geo]

Hiçbiri bir diğerinin $3$ katı olmayan en çok kaç $51$ den küçük pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ 38
\qquad\textbf{d)}\ 39
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$3$ e bölünmeyen sayıları ele alalım. Bu şekilde $50 - \lfloor 50/3 \rfloor = 34$ sayı var.
Bu sayıların her birinden ($a_i$) başlayarak, $a_i \cdot 3^k$, $k=0,1,2,\dots$, kümelerini oluşturalım.

$\{1,3,9,27\}$
$\{2,6,18\}$
$\{4,12,36\}$
$\{5,15,45\}$
$\{7,21\}$

$\vdots$

$\{50\}$

Her kümeden bir elemanı rahatlıkla seçebiliriz. $1,2,4,5$ ile başlayan kümelerden bir eleman daha (örneğin, kümelerin $3.$ elemanlarını) seçebiliriz.
Bu durumda $34 + 4 = 38$ elemandan hiçbiri bir diğerinin $3$ katı değildir.