Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

$\sqrt{xy}-71\sqrt{x}+30=0$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç tane $(x,y)$ çözüm ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 18
\qquad\textbf{c)}\ 72
\qquad\textbf{d)}\ 2130
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\sqrt{xy}-71\sqrt{x}+30=0$ denklemini $\sqrt{x} \left(71-\sqrt{y}\right)=30$ şeklinde yazalım. Burada hem $\sqrt{x}$, hem de $71-\sqrt{y}$ çarpanlarının birer tam sayı olması gerekir. Aksini varsayalım, $\sqrt{x}=a\sqrt{b}$ şeklinde $a,b$ pozitif tam sayıları bulunduğunu varsayalım. $b$, $1$ den büyük tam kare çarpan içermeyecek şekilde olduğunu düşünebiliriz. (Böyle sayılara free-square denir). Bu durumda $71-\sqrt{y}=c\sqrt{b}$ şeklide olması gerekir ama öyle değildir, çelişki.

O halde $\sqrt{x} \left(71-\sqrt{y}\right)=30$ denklemini çözmek $n(71-m)=30$ denklemini çözmekle eşdeğerdir. $30$ un pozitif bölen sayısı kadar, yani $8$ tane çözüm vardır.