Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

$x$ bir gerçel sayı ise $\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-14x+58}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{39}
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{43}{6}
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}+\sqrt{13}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$f(x)=\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-14x+58}=\sqrt{(x-3)^2+2^2}+\sqrt{(x-7)^2+3^2}$ olarak yazalım. Analitik düzlemde $x$ ekseni üzerindeki değişken bir $P(x,0)$ noktası ve sabit $A(3,2)$, $B(7,3)$ noktalarını gözönüne alalım. $|PA|=\sqrt{(x-3)^2+2^2}$ ve $|PB|=\sqrt{(x-7)^2+3^2}$ olduğundan $f(x)=|PA|+|PB|$ olur. $B$ noktasının $x$ eksenine göre simetrisi $C(7,-3)$ olsun. $|PB|=|PC|$ olduğundan $f(x)=|PA|+|PC|$ yazılabilir. Üçgen eşitsizliğinden $|PA|+|PC| \leq |AC|=\sqrt{41}$ dir. Eşitlik hali $A,P,C$ doğrusal iken sağlanır. Yani $f_{\min}=\sqrt{41}$ dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{E}$

Minkowski Eşitsizliği'ni kullanacağız. Çözümün anlaşılabilirliği için eşitsizlikten bahsedelim. $a_{ij}$ pozitif reeller, $r>s$ ise sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\left(\sum_{j=1}^{m}{\left(\sum_{i=1}^{n}{a^{r}_{ij}}\right)^{s/r}}\right)^{1/s}\geq \left(\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{m}{a_{ij}^{s}}\right)^{r/s}}\right)^{1/r}$$
olduğunu belirtir. Bu çözümde kullanacağımız hali ise $s=1, r=2, m=2, n=2$ yani
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geq \sqrt{\left(a_1+b_1\right)^2+\left(a_2+b_2\right)^2}$$
Probleme bunu uyarlarsak aslınsa bizden minimum değeri istenen ifade üstteki Minkowski Eşitsizliği'nin belirtilen özel halinin $a_1=x-3,
a_2=2, b_1=7-x, b_2=3$ durumudur
$$\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2-14x+58}=\sqrt{(x-3)^2+2^2}+\sqrt{(x-7)^2+3^2}$$
$$\overbrace{\geq}^{Minkowski} \sqrt{\left(x-3+7-x\right)^2+\left(2+3\right)^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$$
olarak elde edilir. Dolayısıyla minimum değer $\sqrt{41}$'dir.