Yanıt: $\boxed{D}$
$$1+2+2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = 2^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod{77} \Rightarrow 2^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod{7} \land 2^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod{11}$$
Söz konusu denklikleri sağlayan en küçük $n$ değerleri
$$2^3 \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow n+1 = 3p$$
$$2^5 \equiv -1 \pmod{11} \Rightarrow 2^{10} \equiv 1 \pmod {11} \Rightarrow n+1 = 10q$$ şeklinde bulunur. Sonuçları birleştirdiğimizde $$n+1 = 30k \Rightarrow n = 30k-1$$ olduğu için en küçük $n\geq 100$ sayısı $119$ dur.
NOT:
$\varphi(77)=60$ olduğunu fark edip, $2^{60} \equiv 1 \pmod {77} \Rightarrow n=120-1=119$ şeklinde bir çözüm yanlış olacaktır. $\varphi(77)$, bize $2^x \equiv 1 \pmod{77}$ denkliğini sağlayan en küçük $x$ değerini vermez. Sadece $x|\varphi(77)$ olduğunu söyler. Soru bize $n\geq 200$ olarak verseydi, $\varphi(77)$ den sonuca gitmeye çalışan biri $n=239$ bulacaktı ki, yukarıda yaptığımız çözüme göre $n=209$ olurdu.
