Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 01

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=14$, $|BC|=12$, $|AC|=10$ ve $D$, $[AC]$ üstünde bir nokta olmak üzere, $|AD|=4$ tür. $E$, $[BC]$ üstünde bir nokta ve $Alan(ABC)=2\cdot Alan(CDE)$ ise, $Alan(ABE)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4 \sqrt 6
\qquad\textbf{b)}\ 6 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 3 \sqrt 6
\qquad\textbf{d)}\ 4 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 4 \sqrt 5
$

[geo]

$AE$ yi çizelim. $$[EDC] = 6S \Rightarrow [EDA] = 4S \Rightarrow [ABE] = 2S \Rightarrow [ABC] = 12S $$
$\triangle ABC$ üçgeninin kenarları belli olduğu için üçgenin alanı $[ABC]$ bulunabilir. $\triangle ABC$ de Heron formülü ($u$ Alan Formülü) uygularsak:
$$\begin{array}{rcl}
\left [ ABC \right ] &=& \sqrt {u(u-a)(u-b)(u-c)}, u = \dfrac{14+10+12}{2} = 18 \\
\left [ ABC \right ]  &=& \sqrt {18(18-14)(18-10)(18-12)} = 24\sqrt 6 \\
\left [ ABE \right ] &=& \dfrac{ \left [ ABC \right ]}6 = 4 \sqrt 6
\end{array}$$