Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 18

[geo]

$t_k(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının on tabanına göre yazılımındaki rakamların $k$ inci kuvvetlerinin toplamını gösterelim. Aşağıdaki $k$ değerlerinden hangisi için, $3$ ün $t_k(n)$ yi bölmesi $3$ ün $n$ yi bölmesini gerektirmez?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$a^3 \equiv a \pmod 3$ olduğunu fark edelim. Daha genel bir şekilde, $k$ negatif olmayan bir tam sayı ise $$a^{2k+1} \equiv a \pmod 3$$ özdeşliği vardır. Buna göre, $$ \begin{array}{lclr}\overline{a_ma_{m-1}\dots a_1a_0} & \equiv & 10^ma_m + \dots + 10a_1 + a_0 & \pmod 3  \\ & \equiv & a_m + a_{m-1} + \dots a_1 + a_0 & \pmod 3  \\ & \equiv & a_{m}^{2k+1}+a_{m-1}^{2k+1}+...+a_{0}^{2k+1} & \pmod 3 \end{array}$$ olacaktır. Yani her $k$ tek sayısı için $3 | t_k(n)$ olduğunda otomatik olarak $3 | n$ olacaktır. Dikkat edilirse, şıklardaki tek çift sayı $6$.
$k=6$ için $$ t_{6}(\overline{112}) = 66 \equiv 0 \pmod 3 $$ iken $$\overline{112} \equiv 1+1+2 \equiv 1 \pmod 3 $$ tür.