Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 17

[geo]

Tabanı $ABC$ eşkenar üçgeni ve tepe noktası $T$ olan bir düzgün piramidin $[AB]$, $[BC]$, $[CT]$, $[TA]$ ayrıtlarının orta noktaları sırasıyla $P, Q, R, S$ ile gösterilmek üzere, bu piramidin cisim yüksekliği $2\sqrt {15} $ ve $|AB|=6$ ise, $Alan(PQRS)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4\sqrt {15}
\qquad\textbf{b)}\ 8 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 8 \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 6 \sqrt 5
\qquad\textbf{e)}\ 9 \sqrt 2
$

[geo]

$T$ noktası $A, B, C$ noktalarına eş uzaklıkta olacak. Bu durumda $T$'nin $ABC$ düzlemindeki izdüşümü $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olan $G$ noktasıdır. $TG=2\sqrt{15}$ soruda verilmiş. $AB=6$ ise $AG=2\sqrt 3$ ve $TAG$ dik üçgeninde $$AT^2 = AG^2 + TG^2 \Rightarrow AT^2 = 72 \Rightarrow AT = 6\sqrt 2$$ dir.

$ATB$ üçgeninde $PS$, kenarları ortalayan bir doğru parçası olduğu için $$ PS = \frac{TB}{2} = 3\sqrt2$$ elde edilir. Bu işlemi diğer orta noktalar için de yapınca
$$PQ = SR =\frac{AC}{2} = 3, PS = QR =\frac{TB}{2} = 3\sqrt2$$ elde ediyoruz. Bu durumda $PQRS$ kenarları $3$ ve $3\sqrt 2$ olan bir paralelkenar oldu. Simetriden dolayı $PR = SQ$ olacağı için paralelkenar bir dikdörtgendir. Bu durumda $$[PQRS] = 3 \cdot 3\sqrt 2 = 9\sqrt 2$$ olacaktır.