Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 19

[geo]

Bir torbada $3$ ü mavi $22$ si siyah toplam $25$ top vardır. Ahmet, $1$ ve $25$ arasında bir $n$ tam sayısı seçer. Betül, torbadan birer birer ve geriye koymaksızın rastgele $n$ tane top çeker. Çekilen $n$ toptan tam olarak ikisi maviyse ve bunlardan ikincisi $n$ inci sırada çekilmişse Ahmet, aksi halde ise, Betül oyunu kazanır. Oyunu kazanma olasılığını mümkün olduğu kadar yükseltebilmek için, Ahmet hangi $n$ sayısını seçmelidir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$P(n=2) = \dfrac{3 \cdot 2}{25 \cdot 24}$ olur. $n \geq 3$ için $\dfrac{3}{25}\cdot\dfrac{22}{24}\cdot\dfrac{21}{23}\cdots\dfrac{25-n}{27-n}\cdot\dfrac{2}{26-n} $ gibi bir olasılık elde edeceğiz. İlk mavi top $n-1$ yerden birine gelebileceği için $$P = (n-1)\cdot\dfrac{3\cdot 2\cdot (25-n) }{25\cdot 24\cdot 23 } = \dfrac{3 \cdot 2}{25 \cdot 24} \cdot \dfrac{(n-1)(25-n)}{23} $$ olur. $(n-1)(25-n)$ ifadesi en büyük değerini $n-1 = 25 -n$ olduğu zaman yani $n=13$ te alır. Burada yaptığımız şey, toplamları sabit olan iki sayı en büyük değerini sayılar eşitken alır. Bunu görmenin diğer bir yolu da $AO \geq GO$ eşitsizliği: $$\dfrac{(n-1)+ (25-n)}{2} \geq \sqrt {(n-1)(25-n)} \Rightarrow 13 \geq \sqrt {(n-1)(25-n)} \Rightarrow 169 \geq (n-1)(25-n)$$ ve eşitlik $n-1=25-n$ iken sağlanır. Yani $P$ yi maksimize en eden $n$ değeri $13$ tür.