doğrusallık-kenar ile kenarortayı çap kabul eden çemberler

[ERhan ERdoğan]

Problem : $ABC$ üçgeninde $H$ dikdik merkezi ve $[BC]$ nin orta noktası $D$ olsun. $[BC]$ ve $[AD]$ yi çap kabul eden çemberlerin, kesim noktalarını birleştiren doğrunun, $H$ den geçtiğini gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$A$ dan inilen yüksekliğin ayağı $E$  ve  $B$  den inilen yüksekliğin ayağı $F$  olsun.  $BC$ çaplı çember $F$  den geçer.  $H$ noktasının  $BC$ çaplı çembere göre kuvveti $HB\cdot HF$  dir.  $AD$ çaplı çember $E$ den geçer. $H$ noktasının $AD$  çaplı çembere göre kuvveti $HA\cdot HE$  dir. $ABEF$  kirişler dörtgeni olduğu için  $HB\cdot HF=HA\cdot HE$  dir.  O zaman $H$ noktası bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir. İki çemberin kuvvet eksenin kesim noktalarını birleştiren doğru olduğunu biliyoruz. İspat biter.

Not: Soruda $D$ noktasının  $BC$  nin orta noktası olduğunu kullanmadık. Çünkü bu soru $|BC|$  üzerindeki herhangi bir nokta için de doğrudur.