Cevap: $\boxed{A}$
Çözüm 1: Test mantığıyla $x=-8$ koyarsak $|x^3+3x^2-33x-3|=59$, $2x^2=128$ olacağından istenilen sağlanmaz. Eğer yeterince küçük $\epsilon>0$ için $x=-8-\epsilon$ seçersek $|x^3+3x^2-33x-3|<2x^2$ olmasını sağlayabiliriz çünkü $f(x)=|x^3+3x^2-33x-3|$ ve $g(x)=2x^2$ fonksiyonları süreklidir (Örneğin $\epsilon=0.1$ için $g(-8.1)=131.22>f(-8.1)=70.311$ olacaktır). Dolayısıyla $n>8$ olmalıdır. Bunu sağlayan tek şık $A$'dır.
Çözüm 2: Klasik bir sınavmış gibi çözüm bulalım. Mutlak değerden kurtulalım $$|x^3+3x^2-33x-3|\geq 2x^2\iff x^3+3x^2-33x-3\geq 2x^2 ~~~\text{veya}~~~ -2x^2\geq x^3+3x^2-33x-3$$ Yani eşitsizliği sağlayan en geniş $x$'lerin kümesi $$x^3+x^2-33x-3\geq 0\tag{1}$$ eşitsizliğini $x$'lerin kümesi ve $$0\geq x^3+5x^2-33x-3\tag{2}$$ eşitsizliğini sağlayan $x$'lerin kümesinin birleşimidir. Polinomların işaretleri kökleri arasında değişir. $P(x)=x^3+x^2-33x-3$ ve $Q(x)=x^3+5x^2-33x-3$ polinomlarını tanımlayalım. $$P(-7)=-66, ~~ P(-6)=15, ~~P(-1)=30~~P(0)=-3,~~P(5)=-18~~P(6)=51$$ olduğundan $P(x)$'in $(-7,-6)$, $(-1,0)$, $(5,6)$ aralığında birer kökü vardır. $$Q(-9)=-30, ~~ Q(-8)=69, ~~Q(-1)=34~~Q(0)=-3,~~Q(3)=-30~~Q(4)=9$$ olduğundan $Q(x)$'in $(-9,-8)$, $(-1,0)$, $(3,4)$ aralığında birer kökü vardır. Her iki polinomun da üçer kökü olduğunu biliyoruz. $P(x)$'in kökleri $a<b<c$ olsun. $Q(x)$'in kökleri $d<e<f$ olsun. $(1)$ eşitsizliğini sağlayan $x$'lerin kümesi $[a,b]\cup [c,\infty]$ ve $(2)$ eşitsizliğini sağlayan $x$'lerin kümesi $[-\infty,d]\cup [e,f]$ olacaktır. Dolayısıyla bizim aradığımız $x$'lerin kümesi $$[-\infty,d]\cup [e,f]\cup [a,b]\cup [c,\infty]$$ Bulduğumuz kök aralıklarından dolayı $d<a<b,e<f<c$ olduğunu biliyoruz ($b$ ile $e$ arasındaki ilişkiyi yukarıdaki aralıklardan çıkartamayız). Eğer her $|x|\geq n$ için $$x\in [-\infty,d]\cup [e,f]\cup [a,b]\cup [c,\infty]$$ ise $n\geq |d|,|c|$ olmalıdır çünkü aksi taktirde $x=\lfloor d\rfloor+1$ veya $x=\lfloor c\rfloor$ için istenilen sağlanmayacaktır. $c$ ve $d$'nin aralıklarından dolayı $n\geq 9$ olmalıdır.
