Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

Her $0\leq i \leq 17$  için  $a_{i}$  sayısı, $-1 , 0$ ve $1$ olmak üzere, $$ a_{0}+2a_{1}+2^{2}a_{2}+ \cdots +2^{17}a_{17}=2^{10}$$ eşitliğini sağlayan kaç  $(a_{0} , a_{1} , \cdots ,a_{17} )$ on sekizlisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed B $

Cevap: $8$. Eşitliğin sağ tarafının çift olması nedeniyle $a_0=0$ dır. O zaman her iki tarafı $2$ ile böldükten sonra benzer şekilde $a_1=0$ elde ederiz. Bu şekilde devam edersek $a_0=a_1=\cdots=a_9=0$ gelir: $$2^{10} a_{10}+2^{11} a_{11}+2^{12} a_{12}+\cdots+2^{17} a_{17}=2^{10}$$
$a_i \neq 0$ olan en büyük $i=k$ olsun: $$2^{10} a_{10}+2^{11} a_{11}+2^{12} a_{12}+\cdots+2^k a_k=2^{10}.$$
Eşitliğin sağ tarafının pozitif olması nedeniyle $a_k=1$ olacaktır. $k=10$ ise, $a_{10}=1$ ve tüm diğer katsayılar sifir olacaktır. $k>10$ ise, $a_{10}=a_{11}=\cdots=a_{k-1}=-1$ olmak zorundadır, sadece bu durumda $$
\begin{gathered}
-2^{10}-2^{11}-\cdots-2^{k-1}+2^k \\
=-2^{10}\left(1+2+\cdots+2^{k-10-1}\right)+2^k=-2^{10}\left(2^{k-10}-1\right)+2^k=2^{10}
\end{gathered}
$$ oluyor. Demek ki, her $10 \leq k \leq 17$ değeri için sorudaki eşitliği sağlayan tek bir $\left(a_0, a_1, \ldots, a_{17}\right)$ on sekizlisi bulunuyor.

Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009