Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1978 Soru 4

[geo]

$ABC$ üçgeninde $AB=AC$ dir. $AB$ ve $AC$ ye sırasıyla $P$ ve $Q$ da teğet olan çember, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de içten teğettir. $PQ$ doğru parçasının orta noktasının $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

[geo]

Çemberlerin değme noktası $T$, küçük çemberin merkezi $S$, $PQ$ nun orta noktası $M$ olsun.
$SP=SQ$ olduğu için $AS$ doğrusu, $\angle BAC$ nin açıortayıdır. Dolayısıyla $(ABC)$ çemberinin merkezi, $A$, $M$, $S$, $T$ doğrusaldır. Yani $AT$, $(ABC)$ nin çapıdır.
$\angle ABC = \angle APM = \angle PSA = 2\cdot \angle PTS$ ve $BPMT$ dörtgeni kirişler dörtgeni olduğu için $\angle PTS = PBM = \dfrac{\angle ABC}2$. Yani $BM$, $\angle ABC$ nin açıortayıdır. Bu durumda $M$ noktası $\triangle ABC$ nin iç merkezi olacaktır.

[geo]

Çemberlerin değme noktası $T$, küçük çemberin merkezi $S$, $PQ$ nun orta noktası $M$ olsun.
$SP=SQ$ olduğu için $AS$ doğrusu, $\angle BAC$ nin açıortayıdır. Dolayısıyla $(ABC)$ çemberinin merkezi, $A$, $M$, $S$, $T$ doğrusaldır. Yani $AT$, $(ABC)$ nin çapıdır.
Çemberlerin $T$ deki teğeti $AB$ ile $B'$, $AC$ ile $C'$ noktasında kesişsin.
$\triangle APS \sim \triangle ATB'$ olduğu için $\dfrac{MS}{AM} = \dfrac{BB'}{AB}$, dolayısıyla da $BM \parallel B'S$. Küçük çember, $\triangle AB'C'$ nin içteğet çemberi olduğu için $B'S$, $\angle AB'C'$ nün açıortayı olduğu için $BM$ de, $\angle ABC$ nin açıortayıdır. Bu durumda $M$, $\triangle ABC$ nin iç merkezidir.