Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 2

[geo]

$BC$, $O$ merkezli $\Gamma$ çemberinin bir çapı olsun. $A$, $\Gamma$ üzerinde $0^\circ < \angle AOB < 120^\circ$ koşulunu sağlayan bir nokta olsun. $D$, $C$ yi içermeyen $AB$ yayının orta noktası olsun. $O$ dan geçen ve $AD$ ye paralel olan doğru, $AC$ ile $J$ de kesişiyor. $AO$ nun orta dikmesi $\Gamma$ yı $E$ ve $F$ de kesiyor. $J$ nin $CEF$ üçgeninin iç merkezi olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$AO$ nun orta noktası $M$ olsun. $2\cdot MO  = OF$ olduğu için $\angle MFO = 30^\circ$ ve $AO=AF=OF$ olacaktır. $m(AE) = m(AF) = 60^\circ$, dolayısıyla, $\angle ACF = \angle ECF = 30^\circ$ olur. $J$, $\angle ECF$ nin iç açıortayı üzerinde. O halde, $\angle EJF = 90^\circ + \dfrac{\angle ECF}{2} = 120^\circ$ olduğunu gösterirsek; $J$, $\triangle ECF$ nin iç merkezi olacak.
$D$, $AB$ yayının orta noktası olduğu için $OD$, $AB$ yi ortalar. Aynı zamanda $BO=OC$ olduğu için $OD \parallel AC$ dir. Soruda, $AD\parallel OJ$ verildiği için, $ADOJ$ bir paralelkenar ve $AJ=OD=AO=AF=AE$ dir. O halde, $A$ merkezli, $AF$ yarıçaplı çember, $F$, $J$, $O$, $E$ noktalarından geçer. $EOJF$ kirişler dörtgeninde, $\angle EJF = \angle EOF = 120^\circ$ dir. O halde, $J$, $\triangle ECF$ nin iç merkezidir.