İç merkezin kenarlara göre simetriği

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç merkezinin $BC$, $AC$, $AB$ kenarlarına göre simetriği sırasıyla $X$, $Y$, $Z$ olsun. $AX$, $BY$, $CZ$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninin iç merkezi olan ($I$ olsun) nokta $XYZ$ üçgeninin çevrel merkezidir.

Ayrıca $A,B,C$ noktaları sırasıyla $IYZ , IZX , IXY$ üçgenlerinin çevrel merkezleridir.

$AX ,BY ,CZ$ doğrularının kesim noktasına Kosnita Noktası denir.

[geo]

Daha genelini ispatlayalım.

İddia:
$[IX$ üzerinde $X'$, $[IY$ üzerinde $Y'$, $[IZ$ üzerinde $Z'$ noktalarını $IX'=IY'=IZ'$ olacak şekilde alalım. $AX'$, $BY'$, $BZ'$ doğrularının noktadaştır.

İspat:
$AX'$, $BY'$, $CZ'$ doğrularının noktadaşlığı için gerek ve yeter koşul; $\dfrac{[ABX']}{[ACX']} \cdot \dfrac{[BCY']}{[ABY']} \cdot \dfrac{[ACZ']}{[BCZ']} = 1$ olmasıdır.

$\triangle BIX' \cong \triangle BIZ'$ olduğu için $\angle CBZ' = \angle ABX'$ ve $BX'=BZ'$. $$\dfrac {[ABX']}{[BCZ']} = \dfrac{\frac 12 \cdot BX' \cdot AB \cdot \sin \angle ABX'}{\frac 12 \cdot BZ' \cdot BC \cdot \sin \angle CBZ'} = \dfrac{AB}{BC}$$
Benzer şekilde $\dfrac{[BCY']}{[ACX']} = \dfrac{BC}{AC}$ ve $\dfrac{[ACZ']}{[ABY']} = \dfrac{AC}{AB}$ olacaktır. Taraf tarafa çarptığımızda $$\dfrac{[ABX']}{[ACX']} \cdot \dfrac{[BCY']}{[ABY']} \cdot \dfrac{[ACZ']}{[BCZ']} = 1$$ elde edeceğiz. $\blacksquare$