Noktadaşlık {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninin $AH$ yüksekliğinin $H$ ayağından, $AB$ ve $AC$ kenarlarına $HD$ ve $HE$ dikmeleri ve aynı kenarlara paralel
$HG , HF$ doğruları çiziliyor. $DE$ ve $GF$ doğrularının, $BC$ üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

[geo]

$FG \cap BC = \{P\}$ ve $DE \cap BC = \{Q\}$ olsun.
$\triangle ABC$ de, $P,F,G$ noktaları için Menelaus:
$$\dfrac{AF}{BF}\dfrac{BP}{CP}\dfrac{CG}{AG} = 1$$ ve paralellikten $\dfrac{AF}{BF} = \dfrac{HC}{BH}$ ve $\dfrac{CG}{AG} = \dfrac{HC}{BH}$ olduğu için $$\dfrac{BP}{CP} = \dfrac{BH^2}{HC^2}$$
$\triangle ABC$ de, $Q,D,E$ noktaları için Menelaus:
$$\dfrac{AD}{BD}\dfrac{BQ}{CQ}\dfrac{CE}{AE} = 1$$ ve Öklitten $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AH^2}{BH^2}$ ve $\dfrac{CE}{AE} = \dfrac{HC^2}{AH^2}$ olduğu için $$\dfrac{BQ}{CQ} = \dfrac{BH^2}{HC^2}$$ Bu durumda $\dfrac{BP}{CP} = \dfrac{BQ}{CQ}$ ve $Q$ ve $P$ noktalarının ikisi de üçgenin dışında olduğu için $P=Q$ olur.