Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

$x^{3}+y^{3}=x^{2}yz+xy^{2}z+2$ eşitlğini sağlayan kaç $\left(x,y,z \right)$ tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

Verilen ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz.
$$(x+y)(x^2+y^2-xy)=xyz(x+y)+2 \Rightarrow (x+y)((x+y)^2xy(z-3))=2$$
$x+y= \left \{1,-1,2,-2 \right \}$ değerlerini alabilir.

$x+y=1 \Rightarrow xy(z-3)=1$ çözüm yoktur.

$x+y=-1 \Rightarrow xy(z-3)=-3$ çözüm yoktur.

$x+y=2 \Rightarrow xy(z-3)=-3$ olup $(3,-1,4) , (-1,3,4) , (1,1,0)$ üç çözüm vardır.

$x+y=-2 \Rightarrow xy(z-3)=-5$ olup $(-1,-1,-2)$ tek çözümü vardır.

Buna göre toplam çözüm sayısı $4$ tür.