Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için, $\left | AD \right |=\sqrt{2},\left | BD \right |=3$ ve $\left | CD \right |=\sqrt{5}$ ise, $m\left ( \widehat{ADB} \right )$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 120^{\circ}
\qquad\textbf{b)}\ 105^{\circ}
\qquad\textbf{c)}\ 100^{\circ}
\qquad\textbf{d)}\ 95^{\circ}
\qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Bu klasik sorunun genel halini çözelim.

$AD=x$, $BD=y$ ve $CD=z$ olsun.
$\triangle ADC$ üçgenini $AB$ üzerine üçgenin dışına doğru $\triangle AD'B \cong \triangle ADC$ olacak şekilde yapıştıralım. Eşlikten $AD'=AD=x$ ve $D'B=DC=z$.
$\angle D'AB = \angle DAC$ olduğu için $\angle D'AD = \angle BAC = 60^\circ$. Bu durumda, $\triangle ADD'$ eşkenar. $\angle D'DA = 60^\circ$ ve $DD'=x$.

$\triangle D'DB$ de Kosinüs teoreminden $x^2 + y^2 - 2xy \cdot \cos \angle D'DB = z^2$. Yani $\angle D'DB = \arccos \left( \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy}\right )$.

Bu durumda $\angle ADB = \angle ADD' + \angle D'DB = 60^\circ + \arccos \left( \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy}\right )$ dir.

Soruda verilen $x=\sqrt 2$, $y=3$ ve $z=\sqrt 5$ değerlerini yerine yazarsak, $$\angle ADB = 60^\circ + \arccos \left( \dfrac{6}{6\sqrt {2}} \right ) = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$$ elde ederiz.