Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

$m$ nin hangi değeri için, $3x^{2}-10xy-8y^{2}=m^{19}$ eşitliğini sağlayan hiçbir $\left(x,y\right)$ tam sayı ikilisi yoktur?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Denklemi $(3x+2y)(x-4y)=m^{19}$ şeklinde çarpanlara ayıralım. Bir $0 \leq a\leq19$ tam sayısı için $3x+2y=m^a$ ve $x-4y=m^{19-a}$ olmalıdır. Bu denklemlerden

$$x=\dfrac{2m^a+m^{19-a}}{7}\dots(1)$$ ve $$y=\dfrac{5m^a-m^{19-a}}{14}\dots(2)$$

olur. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerini

$$2m^a+m^{19-a} \equiv 0 \pmod{7}\dots(3)$$ ve $$y=5m^a-m^{19-a}\equiv 0 \pmod{14}\dots(4)$$

biçiminde yazalım. Şimdi seçenekleri deneyelim:

$m=7$ ve $a=1$ için $(3), (4)$ denkliklerinin sağlandığı açıktır. Yani denklemin çözümü vardır.

$m=6$ için $(3)$ denkliği $2+6^{19-2a}\equiv 0 \pmod{7}$ olur. Ancak $19-2a$ tek sayı ve olduğundan $6 \equiv -1 \pmod{7}$ olduğundan $2+6^{19-2a}\equiv 1 \pmod{7}$ çelişkisi elde edilir. $m=6$ için denklemin çözümü yoktur.

Cevabı bulduk ancak diğer seçenekler de kontrol amaçlı denenebilir.

$m=3$ için çözüm olduğunu gösterelim. $(3)$ denkliği $2+3^{19-2a} \equiv 0 \pmod{7}$ şekline gelir. $3^{19-2a} \equiv 5 \pmod{7}$ olmalıdır. $3^5 \equiv 5 \pmod{7}$ olduğundan $19-2a=5$ seçersek $a=7$ tam sayısı bulunabilir. Bu değer için $(4)$ denkliği de sağlandığından, $m=3$ için çözüm vardır.