Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

$r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ renklerinde sırasıyla $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ topun bulunduğu bir torbadan, her seferinde çekilen top torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rastgele $n$ top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte olma olasılığını $p\left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)$ ile gösterirsek, aşağıdakilerden hangisi en küçüktür?

$
\textbf{a)}\ p\left(2,2,2,1\right)
\qquad\textbf{b)}\ p\left(1,1,1,1\right)
\qquad\textbf{c)}\ p\left(2,2,3\right)
\qquad\textbf{d)}\ p\left(2,2,1\right)
\qquad\textbf{e)}\ p\left(1,1,1\right)
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$p'(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ile tüm topların farklı olma olasılığını gösterelim.
Açık şekilde $p(a_1, a_2, \dots, a_n) + p'(a_1, a_2, \dots, a_n) = 1$.

Şıklardaki ifadelerin değillerini yazalım:

$p'(2,2,2,1) = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{7} \cdot 4!$

$p'(1,1,1,1) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 4!$

$p'(2,2,3) = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot 3!$

$p'(2,2,1) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot 3!$

$p'(1,1,1) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3!$

Aralarında en büyüğü $p'(1,1,1)$ olduğu için şıklardan en küçüğü $p(1,1,1)$ dir.