Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$f:\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}$ fonksiyonu tüm $m,n$ tam sayıları için, $$m+f\left ( m+f\left ( n+f\left ( m \right ) \right ) \right )=n+f\left ( m \right )$$ ve $f\left( 6 \right )=6$ koşullarını sağlıyorsa $f\left (2012 \right)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ -2010
\qquad\textbf{b)}\ -2000
\qquad\textbf{c)}\ 2000
\qquad\textbf{d)}\ 2010
\qquad\textbf{e)}\ 2012
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n=-f(m)$ olsun. $m + f(m + f(0)) = 0$.
$m = x - f(0)$ olsun. $x-f(0) + f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = -x + f(0)$ olacaktır.
$f(6)=6$ için $f(6) = - 6 + f(0) = 6 \Rightarrow f(0) = 12$ ve $f(x) = -x + 12$ elde edilir. $f(2012) = -2012 + 12 = -2000$.

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{B}$

$m+f(n+f(m))=2012$ dersek $m+f(2012)=n+f(m)$ olur.

$n+f(m)=6$  ve  $m=2006$  için $$2006+f(2012)=n+f(2006).......(*)$$ olur. $n+f(2006)=6$ olduğundan $n=6-f(2006)$ değeri (*) da yerine yazılırsa $f(2012)=-2000$ bulunur.