Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $m\left ( \widehat{BAD} \right )=20^{\circ}, m\left ( \widehat{DAC} \right )=80^{\circ}, m\left ( \widehat{ACD} \right )=20^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{DCB} \right )=20^{\circ}$ ise $m\widehat{\left ( ABD \right )}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 5^{\circ}
\qquad\textbf{b)}\ 10^{\circ}
\qquad\textbf{c)}\ 15^{\circ}
\qquad\textbf{d)}\ 20^{\circ}
\qquad\textbf{e)}\ 25^{\circ}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\triangle ABD$ yi $[AC]$ üzerine, üçgenin içine doğru $\triangle ABD \cong \triangle AEC$ olacak şekilde yapıştıralım.
$AD=AE$ ve $\angle DAE = 60^\circ$ olduğu için, $\triangle AED$ eşkenar, dolayısıyla $AE=ED$. Aynı zamanda, $AC=CD$ olduğu için, $\angle ACD$ nin açıortayı $E$ den geçer. Bu durumda, $\angle ABD = \angle ECA = \angle ACD / 2 = 10^\circ$ olacaktır.

Not:
$0^\circ<t<30^\circ$ olmak üzere; $\angle BAD = 30^\circ - t$, $\angle DAC = 90^\circ - t$, $\angle ACD = 2t$, $\angle DCB = 30^\circ - t$ olduğu durumda, $\angle ABD = t$ çıkar. Bu soru için $t=10^\circ$ verilmiş.

Ek olarak, bu soru modeli, burada bahsedilen 4.7 numaralı modeldir. (bkz. javascript tabanlı model belirme aracı)
Bu modele ait sorulardan biri burada fazlasıyla irdelenmiştir. Oradaki soru farklı olsa da bu soruyla aynı modele ait olduklarından kolayca birbirlerine dönüştürülebilir. Kaldı ki, ilgili konunun içerisinde buradaki soru tipine dönüştürülerek verilmiş çözümler yer alıyor.

[geo]

$[AD$ üzerinde $AB=AC=AE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım. $\triangle ABE \cong \triangle CAD$ olacaktır. Bu durumda, $AD=BE$ olur.
$\triangle ABE$ üçgeni bir $20^\circ - 80^\circ - 80^\circ$ üçgenidir.  $AD=BE$ durumunda $\angle ABD$ yi soran soru klasik ve birçok çözümü olan bir soru. Bir tanesini verelim:
$AD=BF$ olacak şekilde $ABFD$ ikizkenar yamuğunu kuralım. $\angle DAB = \angle ABF =20^\circ$. $\angle FBE = 60^\circ$ ve $BF=AD=BE$ olduğu için $\triangle FBE$ eşkenardır. Bu durumda, $BF=FE$ olduğu için, $AF$, $\angle BAE$ nin açıortayıdır. İkizkenar yamukta, $\angle BAF = \angle ABD = 10^\circ$ olacaktır.