Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 31

[alpercay]

Gerçel sayılardan oluşan $(a_n)_{n=1}^\infty$ dizisi her $n\ge 3$ için, $$ a_n=(n-1)a_1+(n-2)a_2+... +2a_{n-2}+a_{n-1}$$ eşitliğini sağlamaktadır. $a_{2011}=2011$ ve $a_{2012}=2012$ ise, $a_{2013}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 6025
\qquad\textbf{b)}\ 5555
\qquad\textbf{c)}\ 4025
\qquad\textbf{d)}\ 3456
\qquad\textbf{e)}\ 2013
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$\begin{array}{rcl}
a_{2013} &=& 2012a_1 + 2011a_2 + \dots + 3a_{2010}+  2a_{2011} + a_{2012}\\
a_{2012} &=& 2011a_1 + 2010a_2 + \dots + 2a_{2010} + a_{2011}\\
a_{2011} &=& 2010a_1 + 2009a_2 + \dots + a_{2010} \\
a_{2012} - a_{2011} &=& a_1 + a_2 + \dots + a_{2010} + a_{2011} = 1 \\
a_{2013} - a_{2012} &=& a_1 + a_2 + \dots + a_{2011} + a_{2012}\\
a_{2013} &=& \underbrace{a_1 + a_2 + \dots + a_{2011}}_{=1} + a_{2012}+ a_{2012}\\
a_{2013} &=& 1 + 2012 + 2012 = 4025
\end{array}$