Tübitak Lise Takım Seçme 2002 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{ABC}$ nin açıortayı $[AC]$ yi $D$ de; $\widehat{BCA}$ nın açıortayı $[AB]$ yi $E$ de kesiyor. $BD$ ve $CE$ doğrularının kesişim noktası $X$ olmak üzere, $|BX|=\sqrt 3|XD|$ ve $|XE|=(\sqrt 3 - 1)|XC|$ dir. $ABC$ üçgenin iç açılarının ölçülerini bulunuz.

[ERhan ERdoğan]

İç merkezin açıortayı bölme oranından

$\dfrac{|BX|}{|XD|}=\dfrac{a+c}{b}=\sqrt{3}$
$\dfrac{|CX|}{|XE|}=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$

Yazılan iki denklemi birbirine eşitlersek

$b=c\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

bulunur. Denklemlerden tekrar faydalanıp $a=\dfrac{c}{2}$ elde edilir.

Buna göre ABC üçgeninin  kenarlarının oranı $a:b:c=1:\sqrt{3}:2$ dir.

Bu oranlar $\angle A = 30^{\circ} , \angle B = 60^{\circ} , \angle C = 90^{\circ}$ olan üçgene aittir.