$k\ne 1$ ve $x_k-f\left(x_k\right)=k$ olsun. $\dfrac{f\left(x_k-1-f\left(x_k\right)\right)}{k-1}=\dfrac{f\left(k-1\right)}{k-1}=\dfrac{f\left(x_k\right)-x_k-1}{k-1}=\dfrac{-k-1}{k-1}=-1-\dfrac{2}{k-1}$ olacağından $\left\{\dfrac{f\left(k-1\right)}{k-1}|k\ne 1\right\}$ kümesinin sonlu sayıda elemanı olduğu için $-1-\dfrac{2}{k-1}$ ifadesi sonlu sayıda farklı değer alabilmeli, bu da ancak sonlu sayıda $x_k-f\left(x_k\right)=k$ olduğunda mümkün. Yani $\left\{x-f\left(x\right)|x\in R\right\}$ kümesi sonludur. Sonlu kümelerin en büyük ve en küçük elemanları vardır. Bunlar arasıdan $|x-f(x)|$ ifadesini en büyük yapan değer $x=x_0$ olsun.
$y=x_0-1-f(x_0)$ değişkeni ile $y-f\left(y\right)=y-\left(f\left(x_0\right)-x_0-1\right)\ =2\left(x_0-f\left(x_0\right)\right)$ olur. Bu da $x_0$ ın en büyük şartını $\left|x_0-f\left(x_0\right)\right|=0$ olmadıkça ihlal eder. $|x-f(x)|$ ifadesinin en büyük değeri $\left|x_0-f\left(x_0\right)\right|=0$ olduğuna göre tüm değerleri $0$ dır. Buradan da $f\left(x\right)=x$ elde edilir. Yerine koyduğumuzda $f\left(x-1-x\right)=x-x-1=f(-1)$ olduğu için $f\left(x\right)=x$ verilen denklemi sağlar.
