Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin $B$ köşesinden geçerek $AC$ kenarına $E$ noktasında dik olan doğru, bu üçgenin $O$ merkezli çevrel çemberini $D$ noktasında kesiyor. $D$ den $BC$ kenarına inilen dikmenin ayağı $F$ noktası olduğuna göre $BO$ doğrusunun $EF$ doğrusuna dik olduğunu ispatlayınız.

[gahiax]

$m(\widehat{OBC})=\alpha$ olsun.O çevrel çemberin merkezi ve $\vert BE \vert\bot{| AC \vert}$ olduğundan $m(\widehat{CAB})=90^{\circ}-\alpha ,m(\widehat{CAB})=\alpha $ olur.

$C-B-A-D$ çembersel olduğundan  $m(\widehat{CAB})=\alpha$  dır. Ayrıca  $m(\widehat{CFD})=m(\widehat{CED})=90^{\circ}$ olduğundan $D-C-F-E$
çembersel olup $m(\widehat{DFE})=\alpha$ ,$m(\widehat{EFB})=90^{\circ}-\alpha$ olur .Bu durumda  $BO$ doğrusunun $EF$ doğrusuna dik olur.

[geo]

$BO$ ile $AC$, $I$ da; $EF$ ile $BO$ da $H$ noktasında kesişsin. $EDFC$ dörtgeni karşılıklı açıları ($E$ ve $F$) toplamı ${180}^{\circ }$ olduğu için kirişler dörtgenidir.
$$\angle EDC=\angle EFC=\angle BAC \tag{1}$$ $$\angle ABO=\angle DBC={90}^{\circ }-\angle ACB \tag {2}$$ $\angle BIE=\angle BAC+\angle ABO$ ve $\angle HEB=\angle DBC+\angle EFC$ olduğu için $\angle BIE=\angle HEB\Rightarrow \angle EHB={90}^{\circ }$ olur.

Not:
$AC$, $G$ nin Simson doğrusu; $EF$, $D$ nin Simson doğrusudur. İki noktanın Simson doğruları arasındaki açı, bu iki noktanın belirlediği yayın ölçüsünün yarısı kadardır. Bir başka deyişle, bu yayı göre çevre açının ölçüsüne eşittir. Bu durumda $\angle OEH=\angle GBD$ ve $BO\bot EF$ olacaktır.